Под динамическими системами нами будут пониматься системы, процессы в которых развиваются во времени и описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Уравнения движения конкретной динамической системы с точки зрения исследователя обычно обладают следующими особенностями: они описывают явление с излишней подробностью и излишне сложны. Будучи убежден в излишней сложности и трудоемкости уравнений, исследователь начинает их «упрощать». При этом с большей или меньшей строгостью производится отбрасывание слагаемых, понижение порядка уравнений и т. п.

Возникают два вопроса:

1. Можно ли определить формальный алгоритм этих упрощений.

2. Как оценить разницу решений исходной и упрощенной систем.

Прикладной математикой накоплен мощный арсенал методов приближенного исследования дифференциальных уравнений. Применение этих методов в ходе, упрощения задачи, как правило, дает ответ на оба поставленных вопроса.

Широкое внедрение такого рода методов в практику инженерных расчетов, однако же, затрудняется следующими причинами:

1. Различные варианты приближенных методов разрознены в обширной математической литературе. Они излагаются профессиональными математиками на языке, трудно доступном для инженера-практика. Методов много. Исследователю, не обладающему опытом, трудно разобраться, каким методом удобно воспользоваться в каждом конкретном случае.

2. Указанные методы являются в большей своей части разновидностями метода малого параметра. Математик начинает работу фразой: «Рассмотрим систему уравнений, содержащую малый параметр...». Инженер, исследующий конкретную систему, видит перед собой уравнения, которые чаще всего никаких малых параметров не содержат. Встает задача приведения исходных уравнений к такому виду, когда они содержат малые параметры и когда к ним может быть применен математический формализм. Задача решается при помощи методов теории подобия и размерности. При этом очень важным оказывается привлечение дополнительной информации о порядке величин, фигурирующих в задаче. Эта информация, так сказать инженерного уровня, выделяет для дальнейшего формального изучения так называемые классы движения системы.

Оба этапа приближенного решения — этап введения малого параметра и этап применения математического аппарата образует единую процедуру. Эта область на стыке прикладной математики и инженерии часто называется фракционным анализом [1].

При помощи фракционного анализа, как будет показано далее, выделяются главные составляющие движения и малые добавки к ним, выделяются медленные или быстрые составляющие— короче, производится разделение движения на крупные и мелкие «фракции».

В данной работе излагаются основы фракционного анализа. Полагаем, что ее содержание может заинтересовать тех, кому приходится иметь дело с приближенным аналитическим исследованием обыкновенных дифференциальных уравнений. Численный анализ уравнений на ЭВМ при всей его эффективности не умаляет значимости общих, хотя бы и приближенных, результатов, получаемых аналитическим путем. Возможности численного анализа, кроме того, часто ограничиваются большим разнесением собственных частот системы, когда с малым шагом интегрирования приходится прорисовывать высокочастотные составляющие движения на больших временных интервалах. Растрачивается машинное время, накапливаются ошибки счета. Встает задача разделения движений: требуется составить уравнения, описывающие быстрые и медленные составляющие по отдельности. Эти уравнения уже можно считать на ЭВМ, каждое в своем масштабе времени.

Принятый нами уровень строгости при изложении материала определяется обзорным характером книги. Нами опускаются доказательства математических утверждений и теорем, математические формулировки резко упрощены и огрублены.

Нам неоднократно приходилось встречаться с незаурядными инженерами-практиками, обходящимися в своей деятельности весьма скромными воспоминаниями из вузовского курса высшей математики. Хотелось бы, чтобы книга была понятна этому читателю и дала ему начальную ориентировку в многообразии методов малого параметра, способах их использования и областях применимости различных методов. Этой же цели служит вводная глава, в которой дана сводка необходимых сведений из теории дифференциальных уравнений.

Изложение во многом построено на примерах. Читатель, разобравшийся в них, может считать, что основное содержание книги им понято.

Читатель, которого заинтересует содержание книги, должен, как мы полагаем, подняться на более высокий уровень и обратиться к прилагаемому списку литературы. В этом случае мы будем считать свою задачу выполненной.